Ассоциативные алгебры

kukina_eg


Задачи и незадачи


Previous Entry Share Next Entry
Как выиграть у казино? Да точно так же, как и проиграть.
Ассоциативные алгебры
kukina_eg
В основном блоге написала около-математический пост, а здесь сделаю более расширенную с точки зрения математики версию.

Как с помощью математики строго и правильно доказать 2 прямо противоположных факта?
Никак! ответите вы -- и будете неправы.
Оказывается, для математики нет ничего невозможного.

Есть такая теоретическая стратегия выигрыша у казино. Называется "Удвоение ставки".
Шаг 0. ставим Х на красное. С вероятностью 1/2 выпадает красное и мы получаем 2Х, с вероятностью 1/2 выпадает черное и мы проигрываем нашу ставку (ничего не получаем обратно).
Если выиграли на шаге 1, СТОП.
Шаг 1. Ставим 2Х на красное. С вероятностью 1/2 выпадает красное и мы получаем обратно 4Х (итого отдали Х+2Х, получили 4Х -- чистый выигрыш Х). С вероятностью 1/2 выпадает черное и мы ничего не получаем.
Если выиграли -- СТОП.
...
Шаг k. Ставим 2kХ (на каждом шаге ставка удваивается по сравнению с предыдущим шагом) на красное. С вероятностью 1/2 мы выигрываем. И получаем 2k+1Х (Итого чистый выигрыш 2k+1Х-2kХ-2k-1Х-...-2Х-Х=Х. Чистый выигрыш снова X). С вероятностью 1/2 выпадает черное, мы проигрываем, но переходим к шагу k+1.
...

Доказательство того, что эта стратегия выигрышная. Все время выпадать черное не может (1 раз черное выпадает с вероятностью 1/2; 2 раза подряд с вероятностью 1/4, ... k раз подряд с вероятностью 1/2k; при неограниченно возрастающем k вероятность стремится к 0). Значит, на каком-то шаге обязательно выпадет красное и мы обязательно рано или поздно получим выигрыш Х.

С другой стороны, давайте рассмотрим, сколько денег в среднем нам понадобится до выигрыша.
Х мы платим с вероятностью 1. Но с вероятностью 1/2 нам понадобится поставить на кон еще 2Х. С вероятностью 1/4 понадобится 4Х. И так далее.
Получаем, надо Х+½ 2X+¼ 4X+⅛ 8X+... При бесконечном количестве шагов такая сумма стремится к бесконечности. Т.е. для того, чтобы вероятность выигрыша стала 100%, нам понадобится бесконечное количество денег. Чего быть не может. Таким образом, мы доказали, что стратегия удвоения ставки невыигрышная.

Ну, и напоследок более практически применимая математическая составляющая: давайте посчитаем вероятность выиграть при стратегии "Удвоение", если у вас в кармане У денег. (Ставка в игре Х).
Мы не сможем сделать k-ый шаг, если Х+2Х+...+2kХ=(2k+1-1)Х>Y. (и тогда мы проигрываем).
Таким образом, k=[log2(У/X+1)].
Вероятность, что нам понадобится k-ый шаг равна 1/2k.

Таким образом, с вероятностью (1-1/2k) мы выигрывем Х, с вероятностью 1/2k мы проигрываем сумму (2k+1-1)Х. Кстати, если посчитать математическое ожидание выигрыша -- то получится, ясное дело, 0 )))))

В принципе, вероятность выигрыша не так уж мала, между (Y-X)/(Y+X) и Y/(Y+X), но зато если проиграете -- то все!
Если у вас в кармане миллион, то 1000 рублей вы можете выиграть с вероятностью 1000/1001. Но всегда остается вероятность 1/1001, что вы этот миллион поиграете совсем.

В реальном казино в реальную рулетку вероятность выигрыша несколько уменьшается, т.к. вероятность выигрыша при ставке на красное/черное
чуть меньше половины (ведь есть зеро!).

  • 1
Спасибо Вам за журнал!)

Не за что! К сожалению, не получается слишком часто сюда писать. Руки не доходят.

> Доказательство того, что эта стратегия выигрышная.
Только, если всегда есть возможность сделать k+1 шаг.

> Таким образом, мы доказали, что стратегия удвоения ставки невыигрышная.
Если запрещаем бесконечные деньги, то нужно заодно запретить бесконечно удваивать ставку. Слишком явный обман.

Имхо, все выглядит лучше, если просто показать удвоение ставки и посчитать мат ожидание выигрыша. В таком случае можно вспомнить историю, как в гости к Кантору пришло счетное количество джентельменов.

  • 1
?

Log in