Ассоциативные алгебры

kukina_eg


Задачи и незадачи


Previous Entry Share Next Entry
Функциональное уравнение
Ассоциативные алгебры
kukina_eg
Задача. Найти все многочлены такие, что xf(x-2)=(x-2)f(x-1).

Решение. Подставим x=2. Получим: 2f(0)=0. Значит, x=0 -- корень искомого многочлена.
Подставим x=0, получим 0=-2f(-1). Поэтому x=-1 -- корень искомого многочлена.
Многочлен делится на x(x+1). Или f(x)=x(x+1)g(x). Уравнение перепишется в виде:
x(x-2)(x-1)g(x-2)=(x-2)(x-1)xg(x-1).
Отсюда получаем, что при всех x, кроме возможно 0, 1 и 2, верно равенство g(x-2)=g(x-1). Получаем, что многочлен g(x) -- периодичный, что возможно лишь при условии, что g(x) -- константа.
Отсюда: f(x)=Cx(x+1), других решений нет. C -- произвольная постоянная.


Рассмотрим очень похожую с виду задачу:
Задача. Найти все многочлены такие, что (x-3)f(x-1)=(x-2)f(x).
Оказывается, что при похожести "с виду", эта задача гораздо сложнее.

Решение. Начинаем решать, как в предыдущей задаче, подставляя x=3 и x=2. Получаем корни 3 и 1. Переписываем f(x)=f1(x)=(x-1)(x-3)f2(x). Подставляем в уравнение, получаем новое уравнение примерно того же вида (x-4)f2(x-1)=(x-1)f2(x). Подставляя x=4 и х=1, получаем новые корни 4 и 0. Пробуем сделать так же и дальше: f2(x)=(x-4)x f3(x). Подставляем в уравнение, получаем новое уравнение того же вида (x-5)f3(x-1)=x f3(x). Что за безобразие!

Мы нашли уже корни 3, 1, 4, 0, 5, -1 -- и это не все! Как быть? А надо доказать, что корней бесконечно много. Действительно, докажем, что у функции fk(x) гарантировано корнями являются 2+k и 2-k.
Для этого докажем, что fk удовлетворяет уравнению (x-2-k)fk(x-1)=(x+k-3))fk(x).

База индукции очевидна.
Предположение индукции. Пусть мы уже знаем, что fi удовлетворяет уравнению (x-2-i)fi(x-1)=(x+i-3))fi(x).
Шаг индукции. Из предположения индукции видно, что числа (2-i) и (2+i) --- корни fi(x). Поэтому fi(x)=(x-2+i)(x-2-i)fi+1(x).
Подставляем это выражение в уравнение из предположения индукции. Получаем: (x-2-i)(x-3+i)(x-3-i)fi+1(x-1)=(x+i-3)(x-2+i)(x-2-i)fi+1(x).
Сокращаем скобки, получаем нужное равенство.

Таким образом, получается, что все натуральные числа, кроме x=2, являются корнями искомого многочлена. У многочлена степени n не более, чем n корней, поэтому искомый многочлен может быть только тождественным нулем.

  • 1
Во втором проще заметить, что для g(x) = (x-2)f(x) верно g(x-1) = g(x-2) => g(x) = const => f(x) = const/(x-2), что является многочленом только при const = 0, т.е. f(x) = 0;

Слово "проще" мне никогда не нравилось при решении задач.

Но вы правы, так тоже можно.

  • 1
?

Log in