Ассоциативные алгебры

kukina_eg


Задачи и незадачи


Previous Entry Share Next Entry
Диофантово уравнение
Ассоциативные алгебры
kukina_eg
Задача С6 одного из вариантов ЕГЭ прошлых лет.
Решить в натуральных числах уравнение 3n+4m=5k.

Рассмотрим равенство по модулю 3. Получаем 1m=(-1)k (mod 3). Отсюда следует, что k -- четное число, т.е. k=2t.
Рассмотрим равенство по модулю 4. Получаем (-1)n=1k (mod 4). Отсюда получаем, что n=2s.

Тогда 4m=52t-32s=(5t+3s)(5t-3s).
Поскольку в левой части простые делители только двойки -- в правой обе скобки степени двойки.
Т.е. 5t+3s=2x 5t-3s=2y.

Заметим, что 2y=НОД(5t+3s; 5t-3s)=НОД(5t-3s; 2*3s). Поэтому 2y -- делитель числа 2*3s. Таким образом, 2y=2, поскольку у этого числа двойка делитель кратности 1.

Тогда 2+2*3s=2x; т.е. 1+3s=2x-1. Рассмотрим это равенство по модулю 3. Получаем, что (x-1)=2v.
Т.е. (2v+1)(2v-1)=3s. Отсюда следует, что обе скобки -- степени тройки, и их НОД степень тройки. Но с другой стороны эти две скобки взаимно простые числа (потому что отличаются на 2 и оба нечетные). Отсюда следует, что меньшая из скобок =1.

Отсюда уже легко получаем, что v=1. А отсюда x=2v+1=3; s=1 (т.к. 3s=2x-1-1). Отсюда исходные переменные n=m=k=2.

?

Log in