Ассоциативные алгебры

kukina_eg


Задачи и незадачи


Previous Entry Share Next Entry
Не алгебра
Ассоциативные алгебры
kukina_eg
Следующая задача на первый взгляд чисто алгебраическая. Но только на первый!
Алгебраического решения этой задачи лично я не знаю.

Задача. Пусть р(х) -- многочлен с вещественными коэффициентами. Доказать, что многочлен xp(x)-p'(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Решение.
Заметим, что


Поэтому решать уравнение

равносильно решению уравнения


Функция

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей числовой оси. Причем


Поэтому по обобщению Теоремы Ролля, ее производная в какой-то средней точке обращается в нуль.

[кому лень искать нужное обобщение теоремы Ролля]Кому лень искать обобщение Теоремы Ролля.
Функция f(x) не тождественно равна нулю (а если бы и равна, то еще лучше). Пусть в какой-то точке x0 функция f(x) принимает ненулевое значение y0. Так как f(x) непрерывна, а на минус бесконечности стремится к нулю, то в какой-то точке x1 из интервала (-бесконечность; х0) она принимает значение y0/2. Совершенно аналогично, где-то в точке x2 > x0 она так же принимает значение y0/2. Поэтому уже по теореме Ролля (без всяких обобщений) на отрезке [x1; x2] ее производная где-то обращается в нуль.


Задача решена.
[как догадаться]
В таких задачах, а если говорить точнее, в таких решениях, всегда возникает вопрос: а как вы догадались до функции f(x)? Ну, очень просто. Подогнала под нужное ))
Есть два слагаемых: одно из них содержит p(x), а второе p'(x). Поэтому эта сумма очень похожа на производную произведения! Только чуть-чуть не хватает.

Ну, и нам нужно не общее, а все лишь частное решение этого уравнения.


Рукописные вставки выглядят не очень изящно, зато понятнее, чем пытаться в html набирать формулы ))

  • 1
Я эту задачу решил так: предположим, у xp(x)-p'(x) нет корня. Тогда p(x) - многочлен нечетной степени, значит, корни есть у него. Без потери общности можно считать, что старший член p(x) равен 1. Рассмотрим x_M - наибольший корень p(x). Если p'(x_M) >= 0, то x_Mp(x_M)-p'(x_M) неположительно, значит, у xp(x)-p'(x) есть корень (на бесконечности он положителен), противоречие. Если p'(x_M) < 0, то в точке x_M p(x) убывает, и, следовательно, становится отрицательным правее, значит, правее есть ещё один корень (на плюс бесконечности p(x) положителен) - противоречие.

Впрочем, это решение тоже не алгебраическое (используется непрерывность многочлена).

Edited at 2015-05-30 01:38 pm (UTC)

И не только непрерывность. Убывание/неубывание --- тоже не алгебраическое свойство.

Суровый технарь врывается: у производной многочлена нет свободного члена, у многочлена, умноженного на икс, нет свободного члена. Значит один корень 0, отвечаю.

Почему у производной нет свободного члена?

Ещё один способ, самый сложный :).

Если исходный многочлен чётной степени, то доказывать нечего. Если нечётной, то предполагаем противное: вещественных корней у P(x) = x p(x) - p'(x) нет. Вычислим интеграл от 1/P(z) по контуру, состоящему из куска вещественной оси и опирающейся на неё полуокружности. При неограниченном увеличении радиуса полуокружности интеграл по ней зануляется, а интеграл по оси x сходится в силу предположения и веществен. С другой стороны, сумма вычетов 1/P(z) в верхней полуплоскости не может быть чисто мнимой => противоречие.

  • 1
?

Log in