Ассоциативные алгебры

kukina_eg


Задачи и незадачи


Previous Entry Share
Десятиугольный крокодил
Ассоциативные алгебры
kukina_eg
Задача из весеннего-базового тура Турнира Городов 2017 для младших.
Т.е. задача не сложная, но мне показалась очень интересной и красивой.

На каждой стороне 10-угольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной 10-угольника?

Решить ту же задачу для 11-угольника.

Обозначим ту самую точку О. Точка О лежит на окружности, построенной на АВ как на диаметре тогда и только тогда, когда угол АОВ прямой.

Соответственно, строим пример для 10-угольника. Точка. Из нее 2 перпендикулярные прямые. 10 отрезков, которые "мечутся" между этими прямыми.


Для 11-угольника ответ "не существует". Действительно, "та самая точка" пусть по-прежнему О.
Стартуем с первой вершины A1. Угол А1ОА2 -- прямой. Прямую А1O обозначим k, прямую A2O обозначим m.

Поскольку угол A2ОА3 снова прямой, точка А3 должна лежать на прямой k. И так далее. точки с нечетными номерами оказываются на прямой k, точки с четными номерами на прямой m. В этом случае, весь отрезок А1А11 будет лежать на прямой k и угол А1ОА11 не получится прямым.


?

Log in